Construção de uma reta perpendicular a uma reta r dada passando por um ponto P que não pertença à r

 

O objetivo desse objeto de aprendizagem é apresentar uma possível construção com régua sem graduação e compasso de uma reta s perpendicular a uma reta r dada passando por um ponto P que não pertença à reta r dada.

A construção que será apresentada aqui foi pensada para ser feita com régua sem graduação e compasso e é direcionada para alunos que estão estudando Geometria Euclidiana, seja na escola básica ou no ensino superior.

Após apresentarmos a construção, faremos uma demonstração de que através dessa construção é possível construir uma reta perpendicular a uma reta dada passando por um ponto que não pertença à reta dada. Para fazermos tal demonstração usaremos axiomas, postulados, teoremas ou propriedades da Geometria Euclidiana assumindo que estes são de conhecimento do leitor e pré-requisitos para compreensão deste objeto de aprendizagem. Os axiomas, postulados, teoremas e propriedades que usaremos nessa construção encontram-se no livro citado como referência.

 

Construção:

Sejam r uma reta e P um ponto do plano que não pertença a reta r.

Marque sobre a reta r um ponto A.

Faça um círculo c1 de centro em A e passando por P.

O círculo c1 interseccionará a reta r em dois pontos, B e C.

Escolha um desses pontos, digamos C, e faça um círculo c2 de centro em C e passando por P.

Os círculo c1 e c2 interceptam-se em dois pontos, a saber, P e um novo ponto D.

Seja s a reta que passa por P e D.

A reta s é a reta que queremos, pois ela passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r.

 

Na janela abaixo você interagir com a construção descrita acima.

 

Clicando em "Iniciar", você acompanha o passo-a-passo da construção.

 

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Demonstração:

Queremos mostrar que a reta s é perpendicular a reta r, ou seja, que o ângulo formado entre elas é reto.

Seja E o ponto de intersecção da reta r com a reta s.

Os triângulos ∆APE e ∆ADE são congruentes pelo caso de congruência de triângulos LAL(lado, ângulo, lado). Pois:

AP≡AD pois são raios do círculo c1;

PÂE≡DÂE por *;

AE é lado comum aos dois triângulos;

Disso decorre que os ângulos AÊP e AÊD são congruentes. Como esses ângulos são suplementares decorre que cada um deles mede 90º, ou seja, o ângulo formado entre as retas r e s é reto.

* os triângulos ∆APC e ∆ADC são congruentes pelo caso de congruência de triângulos LLL (lado, lado, lado). Pois:

AP≡AD pois são raios do círculo c1;

AC é lado comum aos dois triângulos;

CP≡CD pois são raios do círculo c2;

Disso decorre que os ângulos internos correspondentes são congruentes, em particular os ângulos PÂE e DÂE são congruentes.

 

Observação: se tivéssemos escolhido o ponto B ao invés do ponto C teríamos passos análogos na construção e na demonstração.

 

No espaço abaixo, você pode refazer a construção descrita acima.

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REFERÊNCIA:
DOLCE, Osvaldo & POMPEU, José Nicolau. Fundamentos de matemática escolar 9: geometria plana – 8ª edição – São Paulo: Atual, 2005.

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