Construção de uma reta perpendicular a uma reta r dada passando por um ponto P pertencente à reta dada

 

O objetivo desse objeto de aprendizagem é apresentar uma possível construção com régua sem graduação e compasso de uma reta s perpendicular a uma reta r dada passando por um ponto P pertencente à reta r dada.

A construção que será apresentada aqui foi pensada para ser feita com régua sem graduação e compasso e é direcionada para alunos que estão estudando Geometria Euclidiana, seja na escola básica ou no ensino superior.

Após apresentarmos a construção, faremos uma demonstração de que através dessa construção é possível construir uma reta perpendicular a uma reta dada passando por um ponto pertencente à reta dada. Para fazermos tal demonstração usaremos axiomas, postulados, teoremas ou propriedades da Geometria Euclidiana assumindo que estes são de conhecimento do leitor e pré-requisitos para compreensão deste objeto de aprendizagem. Os axiomas, postulados, teoremas e propriedades que usaremos nessa construção encontram-se no livro citado como referência.

Construção:

Sejam r uma reta e P um ponto do plano pertencente à reta r.

Marque sobre a reta r um ponto A deistinto de P.

Construa um círculo c1 de centro em P e passando por A.

Seja B o outro ponto de intersecção da reta r com o circulo c1.

Marque sobre a reta r um ponto C localizado entre os pontos P e B.

Construa um círculo c2 de centro em A e passando por C.

Construa um círculo c3 de centro em B e raio AC.

Sejam D e E as intersecções dos círculos c2 com o círculo c3.

Seja s a reta que passa pelos pontos D e E.

A reta s é a reta que queremos, pois ela passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r.

 

Na janela abaixo você interagir com a construção descrita acima.



Clicando em "Iniciar", você acompanha o passo-a-passo da construção.

 

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Demonstração:

Queremos mostrar que a reta s é perpendicular a reta r, ou seja, que o ângulo formado entre elas é reto.

Os triângulos APD e ∆BPD são congruentes pelo caso de congruência de triângulos LLL(lado, lado, lado). Pois:
AD≡BD pois são raios dos círculos c2 e c3 que foram construídos com o mesmo tamanho de raio;
DP é lado comum aos dois triângulos;
PA≡PB por construção.

Disso decorre que os ângulos internos dos triângulos ∆APD e ∆BPD correspondentes são congruentes. Em particular os ângulos AD e BD são congruentes. Como esses ângulos são suplementares decorre que cada um deles mede 90º, ou seja, o ângulo formado entre as retas r e s é reto.

 

No espaço abaixo, você pode refazer a construção descrita acima.

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REFERÊNCIA:
DOLCE, Osvaldo & POMPEU, José Nicolau. Fundamentos de matemática escolar 9: geometria plana – 8ª edição – São Paulo: Atual, 2005.

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